负二项分布计算器
负二项分布的特征有两个参数：所需的成功次数 （k） 和每次试验的成功概率 （p）。负二项分布的概率质量函数给出了在一系列独立且分布相同的伯努利试验中观察到 r 次成功的概率，然后再观察到第 k 次成功。累积分布函数给出了在第 k 次成功之前最多观察到 r 次成功的概率。
负二项分布通常用于实现固定成功次数所需的试验次数是随机的情况。它还与几何分布有关，几何分布描述了第 r 次试验中首次成功的概率。负二项分布的方差和期望值可以使用取决于 k 和 p 值的公式来计算。负二项分布计算器可用于快速轻松地计算给定参数集的这些值。
总之，负二项分布计算器是计算与负二项分布相关的概率的有用工具。此分布描述了实现固定成功次数所需的试验次数，并与二项分布和几何分布相关。该计算器可用于计算给定参数集的负二项分布的概率质量函数、累积分布函数、方差和期望值。
什么是负二项分布？
负二项分布是一种离散概率分布，它模拟在一系列独立且分布相同的伯努利试验中，在固定数量的成功之前失败的次数。它也被称为 Pascal 分布或 Polya 分布。
在负二项分布中，成功的概率用 p 表示，所需的成功次数用 r 表示。随机变量 X 表示第 r 次成功之前的失败次数。
负二项分布的概率质量函数由下式给出：
P（X = k） = （k + r - 1） 选择 （r - 1） * p^r * （1 - p）^k
其中 （k + r - 1） 选择 （r - 1） 是二项式系数。
负二项分布的平均值由下式给出：
E（X） = r * （1 - p） / p
方差由下式给出：
变量（X） = r * （1 - p） / p^2
负二项分布的累积分布函数可以用正则化的不完全 beta 函数表示。
负二项分布与几何分布密切相关，几何分布模拟了实现首次成功所需的试验次数。事实上，负二项分布有时被称为“广义几何分布”。
负二项分布在许多领域都有应用，例如可靠性工程、排队理论和流行病学。例如，它可用于对样本中缺陷项目的数量或总体中的感染数量进行建模。
总之，负二项分布是一种概率分布，它模拟了一系列独立且分布相同的伯努利试验中固定成功次数之前的失败次数。它是一种离散概率分布，可能值范围从 0 到无穷大。概率质量函数和累积分布函数可以分别使用二项式系数和正则化不完全 beta 函数计算。也可以计算分布的均值和方差。
如何计算负二项分布？
计算负二项分布需要了解几个关键因素。这些因素包括成功概率、成功次数、随机变量、平均值、可能值、概率质量函数、累积分布函数、方差和公式。
要计算负二项分布，必须首先了解二项分布。二项分布是一种离散概率分布，用于描述固定次数的试验中的成功次数。负二项分布是二项分布的推广，描述了实现固定成功次数所需的试验次数。
要计算负二项分布，必须首先确定成功的概率。成功的概率是在给定的试验中取得成功结果的可能性。此值用字母“p”表示。
接下来，必须确定成功的次数。成功次数是所需成功结果的固定次数。此值用字母“k”表示。
随机变量是实现固定成功次数所需的试验次数。此值用字母“x”表示。
平均值是达到固定成功次数所需的预期试验次数。此值用字母“μ”表示。
可能的值是随机变量 x 的整数值。这些值的范围从 k 到无穷大。
概率质量函数是描述每个可能结果的概率的函数。此函数用字母“P（x=k）”表示。
累积分布函数是描述实现 k 个或更少成功概率的函数。此函数用字母“F（k）”表示。
方差是分布的度量。此值用字母“σ^2”表示。
计算负二项分布的公式为：
P（x=k） = （k-1） C （r-1） * p^r * （1-p）^（k-r）
其中“C”是二项式系数，计算公式为：
C（n，r） = n！ / （r！ * （n-r）！）
使用负二项分布计算器的一个例子是计算在十次试验中成功三次的概率，成功概率为 0.4。计算器将使用 k、p 和 r 的公式和值来确定在 10 次试验中取得 3 次成功的概率。
总之，计算负二项分布需要了解几个关键因素，包括成功概率、成功次数、随机变量、平均值、可能值、概率质量函数、累积分布函数、方差和公式。通过了解这些因素并使用负二项分布计算器，可以很容易地计算出在给定数量的试验中实现固定数量的成功概率。
负二项分布与几何分布
在概率分布方面，负二项分布和几何分布在各个领域都很常用。虽然它们有一些相似之处，但它们也有一些关键的区别。在本节中，我们将探讨这两个发行版之间的差异。
定义
负二项分布和几何分布都是离散概率分布。负二项分布模拟了在一系列独立且相同的伯努利试验中达到指定成功次数之前发生的失败次数。另一方面，几何分布模拟了在一系列独立且相同的伯努利试验中取得首次成功所需的试验数量。
表示法
负二项分布的表示法如下：
- R：必须实现的成功数量
- P：每次试验的成功概率
- x：实现第 r 次成功之前的失败次数
几何分布的表示法如下：
- P：每次试验的成功概率
- X：首次成功所需的试验次数
概率质量函数
负二项分布的概率质量函数 （PMF） 为：
P（X = x） = （x + r - 1） 选择 （r - 1） * p^r * （1 - p）^x
几何分布的 PMF 为：
P（X = x） = p * （1 - p）^（x-1）
累积分布函数
负二项分布的累积分布函数 （CDF） 为：
F（X <= x） = I（p， r， x）
其中 I 是不完整的 beta 函数。
几何分布的 CDF 为：
F（X <= x） = 1 - （1 - p）^x
差异
负二项分布和几何分布之间的一个关键区别是必须实现的成功次数。在负二项分布中，在实验被认为完成之前，必须获得固定数量的成功。在几何分布中，只需要一次成功。
另一个区别是需要的试验数量。在负二项分布中，试验次数不是固定的，并且可能根据在达到指定成功次数之前发生的失败次数而变化。在几何分布中，所需的试验次数固定为 1。
例
假设一家公司正在进行一项调查，以确定 10 人中有多少人会购买他们的产品。如果一个人购买产品的概率是0.4，那么正好3个人购买产品的概率是多少？
使用负二项分布，我们可以设置 r = 3 和 x = 7（因为在实现第三次成功之前必须发生 7 次失败）。每次试验的成功概率为0.4。将这些值代入 PMF，我们得到：
P（X = 7） = （7 + 3 - 1） 选择 （3 - 1） * 0.4^3 * （1 - 0.4）^7 = 0.026
使用几何分布，我们可以设置 x = 3。每次试验的成功概率为0.4。将这些值代入 PMF，我们得到：
P（X = 3） = 0.4 * （1 - 0.4）^2 = 0.096
正如我们所看到的，两种分布的概率是不同的。这是因为负二项分布对实现固定成功次数之前的失败次数进行建模，而几何分布对实现第一次成功所需的试验次数进行建模。
总之，虽然负二项分布和几何分布有一些相似之处，但它们也有一些关键的区别。了解这些差异有助于为给定问题选择适当的分布。
负二项分布的应用
负二项分布计算器是一种有用的工具，用于计算在一系列独立的伯努利试验中实现固定数量的成功之前一定数量失败的概率。这种分布在概率和统计中有多种应用，包括：
Pascal 分布
负二项分布也称为帕斯卡分布，以数学家布莱斯·帕斯卡的名字命名。该分布用于模拟实现固定成功次数所需的伯努利试验数量。
掷硬币和掷骰子
负二项分布可用于模拟达到一定数量的正面或一定数量的数字所需的掷硬币或掷骰子的次数。
概率质量函数和累积分布函数
负二项式分布的概率质量函数给出了在固定次数的成功之前实现一定数量的失败的概率。累积分布函数给出了在固定数量的成功之前最多实现一定数量的失败的概率。
独立的伯努利试验
负二项分布假设伯努利试验是独立的，这意味着一个试验的结果不会影响下一个试验的结果。
计数数据
负二项分布通常用于对计数数据进行建模，例如特定时间段内的事故数量或特定产品中的缺陷数量。
几何分布
负二项分布与几何分布有关，几何分布模拟了实现第一次成功所需的伯努利试验次数。
总体而言，负二项分布计算器是一种有价值的工具，用于分析数据并根据在一系列独立的伯努利试验中实现一定数量的成功或失败的概率进行预测。
负二项分布的性质
负二项分布是一种离散概率分布，它描述了在一系列独立试验中达到固定成功次数之前发生的失败次数。在本节中，我们将讨论负二项分布的一些重要性质。
均值和方差
负二项分布的均值和方差由下式给出：
- 平均值：E（X） = r（1-p）/p
- 方差：Var（X） = r（1-p）/p^2
这里，r 是成功的次数，p 是成功的概率，X 是表示第 r 次成功之前失败次数的随机变量。
偏度和峰度
负二项分布的偏度和峰度由下式给出：
- 偏度：（2-p）/sqrt（r（1-p））
- 峰度：6/r（1-p） + 3
偏度衡量分布的不对称程度，而峰度衡量峰值或平坦度的程度。
伽玛函数
负二项分布可以用伽马函数表示为：
- P（X=k） = （k+r-1）C（k） p^r （1-p）^k
这里，C（k） 是二项式系数，它表示从总共 r+k-1 个对象中选择 k 个对象的方法数量。
累积量
负二项分布的累积量可以使用以下公式计算：
- K_n = （-1）^n B_n（r，p） / n！
这里，B_n（r，p） 是第 n 个贝尔多项式，可以用第二种斯特林数表示。
解决方法
负二项分布可以使用生成函数的方法求解。负二项分布的概率生成函数由下式给出：
- G（z） = （1-pz）^（-r）
这里，z 是一个复变量。
例
假设篮球运动员有 70% 的机会罚球。他在第九次尝试中第五次罚球的概率是多少？
使用负二项分布，我们可以计算：
- P（X=4） = （4+5-1）C（4） （0.7）^5 （0.3）^4 = 0.2001
因此，篮球运动员在第九次尝试中第五次罚球的概率约为 0.2001。
总之，负二项分布是一种有用的工具，用于模拟在一系列独立试验中达到固定成功次数之前发生的失败次数。它有几个重要的属性，包括其均值、方差、偏度、峰度、伽马函数、累积量和求解方法。
结论
总之，负二项分布计算器是一种有用的工具，可用于计算在固定次数的试验中发生给定数量的成功之前一定数量失败的概率。负二项分布是一种离散概率分布，可用于对实现固定成功次数所需的试验数进行建模。
概率质量函数和累积分布函数可用于计算在给定数量的试验中获得一定数量的成功或失败的概率。负二项分布的方差和标准差也可以使用提供的公式计算。
负二项分布与二项分布和几何分布密切相关。二项分布可用于对固定次数的试验中的成功次数进行建模，而几何分布可用于对实现单次成功所需的试验次数进行建模。
正态分布也可用于近似某些条件下的负二项分布。可以使用提供的公式计算期望值和预期试验次数，并且可以使用概率密度函数对随机变量 x 的分布进行建模。
总的来说，负二项分布计算器对于任何对概率和统计感兴趣的人来说都是一个有价值的工具。通过了解负二项分布计算所涉及的概念和方法，个人可以更深入地了解概率和统计的基本原理。